Du son aux notes

La gamme chromatique

La gamme diatonique que nous venons de construire répond à peu près au cahier des charges de départ : elle est constituée d'intervalles fondamentaux, donc nous permet d'écrire des mélodies agréables à l'oreille ; elle contient suffisamment de notes pour écrire des mélodies subtiles, mais pas au point d'en devenir ingérable ; on devrait relativement facilement pouvoir construire des instruments accordés sur la gamme… Que demander de plus ?

Sept notes, ce n'est pas assez

En pratique, il s'avère que sept notes, cela reste un peu limitant. Par exemple, si je veux transposer une mélodie d'un ton vers le haut, mon do devient , mon devient mi, et mon mi devient… quoi ?

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La présence de « trous » dans la gamme de Pythagore rend la transposition difficile.

Autre source de problème : le demi-ton, qui porte mal son nom, n'est pas la moitié d'un ton. C'est à dire que si je pars de la note de do, que je monte de deux demi-tons, je n'arrive pas exactement sur ré. Cela va poser un problème au moment de la création d'instruments capables de jouer cette gamme.

Il faut donc poursuivre notre étude pour apporter des solutions à ces problèmes.

Pour combler les trous, nous allons poursuivre notre empilement de quintes. Nous avons construit une gamme de sept notes parce cela nous permettait presque de retomber sur le point de départ. Pour s'en rapprocher à nouveau, il faut arriver à douze notes. Dont acte !

Construction de la gamme chromatique

À ce stade, vous avez dû comprendre le mécanisme. À partir d'une note de départ, nous empilons douze quintes.

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En continuant à empiler les quintes, on complète la gamme diatonique de Pythagore.

On constate très bien visuellement qu'après la douzième quinte, la note obtenue (si♯) est presque équivalente à la note de départ.

Mais attendez, nous avons oublié de réintégrer la quarte (notre note « fa ») dans la gamme en ajoutant une quinte descendante.

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Une note de départ, douze quintes ascendantes, une quarte ascendante.

Nous observons un phénomène intéressant : nous avons deux paires de notes presque en double. En effet, la dernière quinte produit une note presque équivalente à la note de départ, tandis que l'avant dernière quinte produit une note très proche de la quarte.

Douze quartes et douze quintes, une gamme à 25 notes

Avant de décider quoi faire de cette information, nous allons nous laisser porter par notre curiosité et construire une gamme entière, basée sur douze quintes et douze quartes.

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Une gamme complète, douze quintes et douze quartes. On a reporté ici les noms correspondant à la gamme diatonique.

Plutôt joli, même si un peu indigeste, n'est-ce pas ? La symétrie de ces deux processus nous offre une gamme de 25 notes, ce qui est bien entendu beaucoup trop.

Sur ce dernier graphique, nous avons reporté les noms des notes correspondant à la gamme diatonique. Ça laisse beaucoup de trous, qu'il va falloir combler. Avant de faire le ménage et de simplifier la gamme, nous allons nommer toutes les notes, en respectant les règles suivantes :

  • s'il s'agit d'une note de la gamme montante (les quintes), on prend le nom de la note d'avant auquel on accole un dièse « ♯ » ;
  • s'il s'agit d'une note de la gamme descendante (les quartes), on prend le nom de la note d'après et on ajoute un bémol « ♭ ».

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La gamme complète avec un nom pour chacune des 25 notes.

Un nettoyage nous offre la gamme chromatique pythagoricienne

Tout ceci est bien joli mais cette gamme est inutilisable en l'état. On constate que la plupart des notes sont « en double », ce qui va nous compliquer la tâche inutilement. Nous allons la simplifier. Pour cela, nous appliquons les règles suivantes :

  • on ne conserve pas les notes en double ;
  • quand une note altérée tombe presque sur une note « nommée », on ne la conserve pas (e.g : mi♯ est très proche de fa) ;
  • quand deux notes altérées sont presque équivalentes, on n'en garde qu'une seule de manière totalement arbitraire.

Par convention plus ou moins arbitraire, on va conserver la note de départ, les huit premières notes de la gamme montante et les trois premières de la gamme descendante. Le résultat est le suivant.

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Une gamme à douze notes qui évite les notes en double.

Cette gamme à douze note est appelée gamme chromatique. Étymologiquement, « chromatique » vient du Grec « khrôma » qui signifie « couleur » et au sens plus large « embellissement, décoration, ornementation ». On peut considérer que la gamme chromatique est une extension de la gamme diatonique, elle lui rajoute des notes qui l'enrichissent, permettent de lui apporter une saveur différente.

La gamme chromatique, 12 notes à peu près uniformément réparties sur l'octave, construite à partir d'intervalles consonants. Serait-ce le Saint-Graal ? Pas tout à fait !

Cette gamme, quoiqu'à peu près utilisable, présente plusieurs problèmes.

Deux types de demi-tons

Une observation attentive de la gamme obtenue nous montre qu'il existe deux valeurs différentes pour l'intervalle de demi-ton. Vous noterez par exemple qu'il existe un écart plus important entre do et do♯ qu'entre do♯ et .

En fait, le mécanisme de construction que nous avons employé amène au résultat suivant :

  • il y a toujours un « grand » demi-ton (Apotome étant le terme officiel) entre deux notes de même nom (do et do♯, fa et fa♯, mi et mi♭, etc.) ;
  • il y a toujours un « petit » demi-ton (on parle de Limma) entre deux notes de noms différents (do♯ et , mi et fa, si et do, etc.).

La différence est subtile mais elle existe belle et bien, surtout pour des oreilles entraînées de musicien·nes. La conséquence est que cette gamme est impropre à la transposition de mélodies. Ainsi, si l'on écrivait une mélodie dont la première note est do, puis qu'on la jouait un demi-ton plus haut (donc en démarrant par do♯), et bien les écarts entre les notes ne seraient pas précisément les mêmes : la mélodie serait subtilement altérée.

Pour vous en convaincre, écoutez attentivement cet exemple. Nous jouons les premières notes du standard de jazz Autumn leaves. Pour que l'exemple soit le plus parlant possible, plutôt que transposer la mélodie (la faire démarrer à une hauteur différente), nous avons simplement « décalé » les grands et petits demi-tons.

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Fausseté des tierces

Un autre problème est posé par la fausseté des tierces. Rappelons que la tierce pure équivaut à un rapport de 5/4 entre deux notes. Ainsi, si je voulais jouer deux notes séparées d'une tierce, je devrais jouer les sons ayant pour fréquences :

  • 200 Hz
  • 200 * 5/4 = 250 Hz

Écoutons.

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Mais si je me limite aux notes proposées par la gamme Pythagoricienne, les fréquences qui s'en approchent le plus sont 200 Hz et 253 Hz. Écoutons le résultat.

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Il faut bien avouer que pour des oreilles non entraînées, la différence est subtile. Lorsque l'usage des tierces est devenu plus fréquent chez les compositeurs, cette légère dissonance a contribué à rendre la gamme de Pythagore définitivement obsolète.

Quinte du loup

Le dernier problème posé par la gamme de Pythagore est connu sous le nom très évoquateur de « quinte du loup ».

Observons attentivement le schéma représentant la construction de la gamme.

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À titre d'exercice, sélectionnez une note au hasard sur la roue. N'importe laquelle. À partir de cette note, comptez sept demi-tons dans le sens des aiguilles d'une montre. Cela nous emmène immanquablement sur la quinte de la note de départ.

  • do -> sol ;
  • la -> mi ;
  • fa -> do

Vous noterez que dans tous les cas, un trait pointillé relie les deux notes, c'est à dire qu'entre les deux notes, il y a bien un intervalle de quinte pure (3/2) : c'est bien normal, puisque c'est ainsi que nous avons bâti notre gamme.

Dans tous les cas sauf un, saurez-vous le trouver ? Il s'agit de l'intervalle sol♯ ~ mi♭. En effet, sol♯ est la dernière note obtenue en empilant des quintes, tandis que mi♭ est la dernière note obtenue en empilant des quartes. Il en résulte que dans notre gamme, mi♭ n'est en fait pas exactement la quinte de sol♯ ; cet intervalle, différent des autres, est légèrement faux.

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En ajoutant une quinte à partir de sol♯, on s'aperçoit que cette note est légèrement différente de mi♭.

Écoutons une note et sa quinte juste.

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Maintenant, la même chose mais en remplaçant la quinte par la quinte du loup.

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On entend assez bien le battement désagréable qui survient quand les deux notes sont jouées en même temps, ce qui a forcé les musicien·nes de l'Histoire à tout simplement s'assurer que cet intervalle ne figurait pas dans leurs compositions.

Conclusion

Bien qu'elle présente plusieurs problèmes à l'usage et qu'elle ne soit plus concrètement utilisée depuis des siècles, la gamme de Pythagore est un formidable outil pédagogique, et l'étude de sa construction nous permet de mieux comprendre certaines des raisons qui font que nos outils musicaux sont ce qu'ils sont aujourd'hui.

Ainsi, l'étude de la gamme chromatique permet de répondre aux questions :

  • pourquoi la gamme chromatique actuelle comprend-elle douze notes ? parce que douze quintes permettent de retomber presque sur la note de départ.
  • pourquoi y a-t-il deux types d'altérations, « ♭ » et « ♯ » ? parce que « do♯ » et « ré♭ » (par exemple) sont bel et bien deux notes différentes, qui peuvent avoir exactement la même hauteur, ou pas, en fonction de la méthode employée pour construire la gamme.

En résumé

En complétant la gamme de Pythagore, on comprend encore mieux certains aspects de notre système musical actuel qui paraissent farfelus à première vue. Cela dit, la gamme de Pythagore présente plusieurs problèmes qui la rendent inutilisable en pratique.