La gamme diatonique que nous venons de construire répond à peu près au cahier des charges de départ :

• elle est constituée d'intervalles fondamentaux (donc nous permet d'écrire des mélodies agréables à l'oreille) ;
• elle contient suffisamment de notes pour écrire des mélodies subtiles, mais pas au point d'en devenir ingérable ;
• on devrait pouvoir construire des instruments accordés sur la gamme.

Que demander de plus ?

Sept notes, ce n'est pas assez

En pratique, il s'avère que sept notes, c'est encore trop limitant.

Par exemple, si je veux transposer une mélodie d'un ton vers le haut, mon do devient ré, mon ré devient mi, et mon mi devient… quoi ?

Autre source de problème : le demi-ton – qui porte mal son nom– n'est pas la moitié du ton.

(C'est à dire que si je pars d'un do, que je monte de deux demi-tons, je n'arrive pas exactement sur ré.)

Cela va poser un problème au moment de la facture d'instruments.

Comment résoudre ces problèmes ?

La solution : il faut plus de notes !

Continuons à empiler des quintes

Pour combler les trous, nous allons poursuivre notre empilement de quintes.

Nous avons construit une gamme de sept notes parce qu'on retombait presque sur le point de départ.

Pour s'en rapprocher à nouveau, il faut arriver à douze notes. Dont acte !

Construction de la gamme chromatique

À ce stade, vous avez dû comprendre le mécanisme. À partir d'une note de départ, nous empilons douze quintes.

On constate très bien visuellement qu'après la douzième quinte, la note obtenue (si♯) est presque équivalente à la note de départ.

Mais attendez ! nous avons oublié de réintégrer la quarte (notre note fa).

Nous observons un phénomène casse-pieds intéressant : nous avons deux paires de notes presque en double :

• la dernière quinte produit une note presque équivalente à la note de départ ;
• l'avant dernière quinte produit une note très proche de la quarte.

Douze quartes et douze quintes, une gamme à 25 notes

Avant de décider quoi faire de cette information, nous allons nous laisser porter par notre curiosité et construire une gamme entière, basée sur douze quintes et douze quartes.

Plutôt joli, mais un peu indigeste, n'est-ce pas ?

La symétrie de ces deux processus nous offre une gamme de 25 notes, ce qui est bien entendu beaucoup trop.

Avant de faire le ménage et de simplifier la gamme, nous allons nommer toutes les notes, en respectant les règles suivantes :

• s'il s'agit d'une note de la gamme montante (les quintes), on prend le nom de la note d'avant auquel on accole un dièse « ♯ » ;
• s'il s'agit d'une note de la gamme descendante (les quartes), on prend le nom de la note d'après et on ajoute un bémol « ♭ ».

Un nettoyage nous offre la gamme chromatique pythagoricienne

Tout ceci est bien joli mais cette gamme est inutilisable en l'état !

On constate que la plupart des notes sont « en double », ce qui va nous compliquer la tâche inutilement.

Franchement, avons-nous besoin de garder la note mi♭♭ alors qu'il existe déjà un ré qui fait très bien le travail ?

Pour simplifier la gamme :

• on ne conserve pas les notes en double ;

• quand une note altérée tombe presque sur une note « nommée », on ne la conserve pas (e.g : on supprime mi♯, trop proche de fa) ;

• quand deux notes altérées sont presque équivalentes (e.g fa♯ et sol♭), on n'en garde qu'une seule de manière totalement arbitraire.

Par convention, on conserve la note de départ, les huit premières notes de la gamme montante et les trois premières de la gamme descendante.

Le résultat est le suivant.

La gamme chromatique est née

Cette gamme à douze note est appelée la gamme chromatique.

On peut considérer que la gamme chromatique est une extension de la gamme diatonique : elle lui rajoute des notes qui l'enrichissent et la complètent.

La gamme chromatique nous donne 12 notes à peu près uniformément réparties sur l'octave. Serait-ce le Saint-Graal ? Pas tout à fait !

Cette gamme, quoiqu'à peu près utilisable, présente encore plusieurs problèmes.

Deux types de demi-tons

Une observation attentive de la gamme obtenue nous montre qu'il existe deux valeurs différentes pour l'intervalle de demi-ton.

Par exemple, il existe un écart légèrement plus important entre do et do♯ qu'entre do♯ et ré.

En fait, le mécanisme de construction que nous avons employé amène au résultat suivant :

• il y a toujours un « grand » demi-ton (Apotome étant le terme officiel) entre deux notes de même nom (do et do♯, fa et fa♯, mi et mi♭…) ;
• il y a toujours un « petit » demi-ton (on parle de Limma) entre deux notes de noms différents (do♯ et ré, mi et fa, si et do…).

La différence est subtile mais elle existe belle et bien, surtout pour des oreilles bien entraînées.

La conséquence est que cette gamme est impropre à la transposition de mélodies.

Ainsi, si l'on écrivait une mélodie dont la première note est do, puis qu'on la jouait un demi-ton plus haut (donc en démarrant par do♯), les écarts entre les notes ne seraient pas précisément les mêmes : la mélodie serait subtilement altérée.

Pour vous en convaincre, écoutez bien ces deux versions du standard de jazz Autumn leaves.

(Pour que l'exemple soit le plus parlant possible, plutôt que transposer la mélodie (la faire démarrer à une hauteur différente), nous avons simplement « décalé » les grands et petits demi-tons.)

Les deux mélodies sont légèrement différentes (c'est très subtil, j'en conviens).

Fausseté des tierces

Un autre problème est posé par la fausseté des tierces.

Rappelons que la tierce pure équivaut à un rapport de 5/4 entre deux notes.

Ainsi, si je voulais jouer deux notes séparées d'une tierce, je devrais jouer les sons ayant pour fréquences :

• 200 Hz
• 200 × 5 ÷ 4 = 250 Hz

Écoutons.

Mais si je me limite aux notes proposées par la gamme Pythagoricienne, les fréquences qui s'en approchent le plus sont 200 Hz et 253 Hz. Écoutons le résultat.

Il faut bien avouer que pour des oreilles non entraînées, la différence est subtile.

Lorsque l'usage des tierces est devenu plus fréquent chez les compositeurs, cette légère dissonance a contribué à rendre la gamme de Pythagore définitivement obsolète.

Quinte du loup

Le dernier problème posé par la gamme de Pythagore est connu sous le nom très évoquateur de « quinte du loup ».

Observons attentivement le schéma représentant la construction de la gamme.

À titre d'exercice, sélectionnez une note au hasard sur la roue. N'importe laquelle !

À partir de cette note, comptez sept demi-tons dans le sens des aiguilles d'une montre. Cela nous emmène immanquablement sur la quinte de la note de départ.

• do -> sol ;
• la -> mi ;
• fa -> do…

Vous noterez que dans tous les cas, un trait pointillé relie les deux notes.

C'est à dire que dans la gamme de Pythagore, si on trouve une note, on trouve aussi sa quinte.

C'est bien normal, puisque c'est ainsi que nous avons bâti notre gamme.

Dans tous les cas SAUF un ! Saurez-vous le trouver ?

Il s'agit de l'intervalle sol♯ ~ mi♭.

En effet, sol♯ est la dernière note obtenue en empilant des quintes, tandis que mi♭ est la dernière note obtenue en empilant des quartes.

Il en résulte que dans notre gamme, mi♭ n'est en fait pas exactement la quinte de sol♯ ; cet intervalle, différent des autres, est légèrement faux.

Écoutons une note et sa quinte juste.

Maintenant, la même chose mais en remplaçant la quinte par la quinte du loup.

On entend assez bien le battement désagréable qui survient quand les deux notes sont jouées en même temps.

C'est ce qui a forcé les musicien·nes de l'Histoire à tout simplement s'assurer que cet intervalle ne figurait pas dans leurs compositions.

Conclusion

Même si elle n'est plus utilisée, la gamme de Pythagore est un formidable outil pédagogique.

En étudiant sa construction, on comprends bien mieux le système musical actuel.

• pourquoi la gamme chromatique actuelle comprend-elle douze notes ? parce que douze quintes permettent de retomber presque sur la note de départ.
• pourquoi y a-t-il deux types d'altérations, « ♭ » et « ♯ » ? parce que « do♯ » et « ré♭ » (par exemple) sont bel et bien deux notes différentes, qui peuvent avoir exactement la même hauteur, ou pas, en fonction de la méthode employée pour construire la gamme.